Written by Bilingual Algebra App: Systems in Two Unknowns (EN/DE)
Learn the full theory and practice solving linear equations with two unknowns (x, y) using substitution, elimination, and graphing—plus careful handling of brackets.
1) What is a system in two unknowns?
A system is two equations that must be true at the same time, typically with two unknowns (x and y). A solution is a pair (x, y) that makes both equations true.
Most of this app uses linear equations (no x², y², xy, etc.), so each equation describes a line. The system’s solution is where the two lines intersect.
2) The “balance” picture
3) Core tools (the legal moves)
- Add the same expression to both sides.
- Subtract the same expression from both sides.
- Multiply both sides by the same nonzero number.
- Divide both sides by the same nonzero number.
- Replace an expression by an equal expression (simplify, expand brackets, combine like terms).
4) Brackets: handling and “sign discipline”
Brackets require careful distribution and sign tracking. Key rule: a(b + c) = ab + ac and a(b − c) = ab − ac.
5) A reliable bracket workflow
- Rewrite subtraction as adding a negative when helpful (e.g., A – B = A + (-B)).
- Distribute one bracket at a time (especially with negatives or fractions).
- Combine like terms (x-terms, y-terms, constants).
- Then choose a method (substitution / elimination / graphing).
6) Three main methods
| Method | Best when… | Idea |
|---|---|---|
| Substitution | One equation isolates a variable easily (e.g., y = 2x + 1). | Solve one equation for a variable, plug into the other, then back-substitute. |
| Elimination | Coefficients line up or can be made to line up by multiplying equations. | Add/subtract equations to cancel one variable and solve the remaining one. |
| Graphing | You want a visual check or approximate solution quickly. | Plot both lines; their intersection is the solution (or none / infinitely many). |
7) Worked example (elimination + brackets)
System:
2(x – 3) + y = 5
x + 2y = 4
Step 1 (expand): 2x – 6 + y = 5 → 2x + y = 11
Step 2 (substitute): from x + 2y = 4 get x = 4 – 2y
Step 3: plug into 2x + y = 11: 2(4-2y)+y=11 → 8-4y+y=11 → -3y=3 → y=-1
Step 4: x = 4 – 2(-1) = 6
8) Special cases: 0, 1, or infinitely many solutions
No solution: x + y = 2 and 2x + 2y = 5 → 2 = 2.5.
Infinitely many: x + y = 2 and 2x + 2y = 4 → 2 = 2.
9) Optional “fast method”: Cramer’s rule (2×2)
For ax + by = e, cx + dy = f, define Δ = ad – bc.
- If Δ ≠ 0, then exactly one solution exists.
- Then x = (ed – bf)/Δ, y = (af – ec)/Δ.
Visuals & mini charts
A) Flowchart: choose a method
B) Canvas picture: two lines intersect
Example lines: x + y = 4 and 2x – y = 1. Intersection: (x, y) = (5/3, 7/3).
C) Tiny “tricks” checklist
- Clear fractions early: multiply the whole equation by the LCM of denominators (both sides).
- Choose elimination smartly: cancel the variable with smaller coefficients to reduce arithmetic.
- Keep parentheses during substitution: write … + (2x – 3) to avoid sign errors.
- Always verify: substitute (x, y) back into both original equations.
Easy exercises (15)
Goal: build confidence with clean integer systems. Show the solution only after trying.
Medium exercises (15)
Goal: include brackets, negatives, and “multiply to eliminate”.
High exercises (15)
Goal: deeper reasoning (special cases, fractions, word problems, parameters).
1) Was ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten?
Ein Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen (meist mit x und y). Eine Lösung ist ein Zahlenpaar (x, y), das beide Gleichungen wahr macht.
In dieser App geht es überwiegend um lineare Gleichungen; jede Gleichung beschreibt eine Gerade. Die Lösung ist der Schnittpunkt der beiden Geraden (falls es einen gibt).
2) Das “Waage”-Bild
3) Erlaubte Umformungen (Werkzeuge)
- Auf beiden Seiten denselben Term addieren.
- Auf beiden Seiten denselben Term subtrahieren.
- Beide Seiten mit derselben von 0 verschiedenen Zahl multiplizieren.
- Beide Seiten durch dieselbe von 0 verschiedene Zahl dividieren.
- Gleichwertige Ausdrücke ersetzen (vereinfachen, Klammern ausmultiplizieren, zusammenfassen).
4) Klammern sicher behandeln
Klammern erfordern sauberes Ausmultiplizieren und Vorzeichen-Disziplin. Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac und a(b − c) = ab − ac.
5) Robustes Klammer-Vorgehen
- Minus als + (negativ) denken (z.B. A – B = A + (-B)).
- Ausmultiplizieren – eine Klammer nach der anderen.
- Gleichartige Terme zusammenfassen (x mit x, y mit y, Zahlen mit Zahlen).
- Dann Methode wählen (Einsetzen / Addieren / Zeichnen).
6) Drei Standardmethoden
| Methode | Gut wenn… | Idee |
|---|---|---|
| Einsetzverfahren | Eine Variable lässt sich leicht isolieren (z.B. y = 2x + 1). | Isolieren, einsetzen, zurück einsetzen. |
| Additionsverfahren | Koeffizienten passen oder werden passend gemacht (multiplizieren). | Addieren/subtrahieren, um eine Variable zu eliminieren. |
| Graphisch | Für Skizze und Plausibilitätscheck. | Geraden zeichnen; Schnittpunkt ist Lösung (oder keine / unendlich viele). |
7) Sonderfälle: 0 / 1 / unendlich viele Lösungen
Keine Lösung: parallele Geraden; nach Umformen Widerspruch (z.B. 2 = 2.5).
Unendlich viele: gleiche Gerade; nach Umformen Identität (z.B. 2 = 2).
8) Optional: Cramersche Regel (2×2)
Für ax + by = e, cx + dy = f gilt Δ = ad – bc. Bei Δ ≠ 0 gibt es genau eine Lösung; dann kann man x und y über Determinanten berechnen.
Visuals & Grafiken
A) Flussdiagramm: Methode wählen
B) Canvas-Grafik: Schnittpunkt zweier Geraden
Beispiel: x + y = 4 und 2x – y = 1. Schnittpunkt: (5/3, 7/3).
Leichte Aufgaben (15)
Ziel: Sicherheit mit einfachen linearen Systemen. Lösung erst nach eigenem Versuch anzeigen.
Mittlere Aufgaben (15)
Ziel: Klammern, negative Zahlen, “multiplizieren zum Eliminieren”.
Schwere Aufgaben (15)
Ziel: Sonderfälle, Brüche, Textaufgaben, Parameter.