Maths

Basic Algebra

Written by web@ependiytis.international
Algebra Learning Companion

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1. What is Algebra?1. Was ist Algebra?

Algebra is a branch of mathematics that uses letters (variables) to represent unknown numbers. Instead of working only with numbers like in arithmetic, algebra allows us to write general rules and solve problems systematically.Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der Buchstaben (Variablen) verwendet, um unbekannte Zahlen darzustellen. Anstatt nur mit Zahlen wie in der Arithmetik zu arbeiten, ermöglicht uns die Algebra, allgemeine Regeln aufzuschreiben und Probleme systematisch zu lösen.

2. Understanding Equations2. Verständnis von Gleichungen

An equation is a mathematical statement showing that two expressions are equal. The sign “=” divides the equation into a left side and a right side.Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, die zeigt, dass zwei Ausdrücke gleich sind. Das Zeichen “=” teilt die Gleichung in eine linke und eine rechte Seite.

Example:Beispiel:

$$x + 5 = 12$$

In this equation:In dieser Gleichung:

  • The left side is: x + 5Die linke Seite ist: x + 5
  • The right side is: 12Die rechte Seite ist: 12
  • x is the unknown variable we need to findx ist die unbekannte Variable, die wir finden müssen

Key Principle:Schlüsselprinzip:

An equation is like a balance scale. Whatever you do to one side, you must do to the other side to keep it balanced.Eine Gleichung ist wie eine Waage. Was immer Sie auf einer Seite tun, müssen Sie auch auf der anderen Seite tun, um sie im Gleichgewicht zu halten.

3. Solving Linear Equations: Step-by-Step3. Lösen linearer Gleichungen: Schritt für Schritt

The Golden Rule:Die goldene Regel:

To solve an equation, we isolate the variable on one side. This means:Um eine Gleichung zu lösen, isolieren wir die Variable auf einer Seite. Das bedeutet:

  1. Move all terms with the variable to the left sideVerschieben Sie alle Begriffe mit der Variablen auf die linke Seite
  2. Move all constant numbers to the right sideVerschieben Sie alle konstanten Zahlen auf die rechte Seite
  3. Simplify and solveVereinfachen und lösen

Important Operations:Wichtige Operationen:

Rule 1: Addition and SubtractionRegel 1: Addition und Subtraktion

If a term is added on one side, subtract it from both sides:Wenn ein Term auf einer Seite addiert wird, subtrahieren Sie ihn von beiden Seiten:

$$x + 5 = 12 \implies x + 5 – 5 = 12 – 5 \implies x = 7$$

If a term is subtracted on one side, add it to both sides:Wenn ein Term auf einer Seite subtrahiert wird, addieren Sie ihn zu beiden Seiten:

$$x – 3 = 8 \implies x – 3 + 3 = 8 + 3 \implies x = 11$$

Rule 2: Multiplication and DivisionRegel 2: Multiplikation und Division

If the variable is multiplied by a number, divide both sides by that number:Wenn die Variable mit einer Zahl multipliziert wird, teilen Sie beide Seiten durch diese Zahl:

$$3x = 15 \implies \frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \implies x = 5$$

If the variable is divided by a number, multiply both sides by that number:Wenn die Variable durch eine Zahl geteilt wird, multiplizieren Sie beide Seiten mit dieser Zahl:

$$\frac{x}{2} = 6 \implies \frac{x}{2} \times 2 = 6 \times 2 \implies x = 12$$

4. Multi-Step Equations4. Mehrstufige Gleichungen

Sometimes we need multiple steps to solve an equation. Follow these strategies:Manchmal brauchen wir mehrere Schritte, um eine Gleichung zu lösen. Folgen Sie diesen Strategien:

Complete Example:Vollständiges Beispiel:

Solve: $2x + 5 = 13$Lösen Sie: $2x + 5 = 13$

Step 1:Schritt 1: Subtract 5 from both sidesSubtrahieren Sie 5 von beiden Seiten

$$2x + 5 – 5 = 13 – 5$$

$$2x = 8$$

Step 2:Schritt 2: Divide both sides by 2Teilen Sie beide Seiten durch 2

$$\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$$

$$x = 4$$

Step 3: CheckSchritt 3: Überprüfung

Substitute x = 4 back into the original equation:Ersetzen Sie x = 4 in die ursprüngliche Gleichung:

$$2(4) + 5 = 8 + 5 = 13 \checkmark$$

5. Equations with Variables on Both Sides5. Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten

When variables appear on both sides, collect them on one side:Wenn Variablen auf beiden Seiten auftreten, sammeln Sie sie auf einer Seite:

Example:Beispiel:

Solve: $3x + 2 = x + 10$Lösen Sie: $3x + 2 = x + 10$

Step 1:Schritt 1: Move x to the left by subtracting x from both sidesVerschieben Sie x nach links, indem Sie x von beiden Seiten subtrahieren

$$3x – x + 2 = x – x + 10$$

$$2x + 2 = 10$$

Step 2:Schritt 2: Move 2 to the right by subtracting 2Verschieben Sie 2 nach rechts, indem Sie 2 subtrahieren

$$2x = 8$$

Step 3:Schritt 3: Divide by 2Teilen Sie durch 2

$$x = 4$$

6. Quick Tips and Tricks6. Schnelle Tipps und Tricks

  • Balance is Key: Always do the same operation to both sidesBalance ist der Schlüssel: Führen Sie immer die gleiche Operation auf beiden Seiten durch
  • Opposite Operations: Use opposite operations to “undo” what’s done to the variable (add→subtract, multiply→divide)Entgegengesetzte Operationen: Verwenden Sie entgegengesetzte Operationen, um zu “rückgängig machen”, was mit der Variablen getan wird
  • Always Check: Substitute your answer back into the original equationImmer überprüfen: Ersetzen Sie Ihre Antwort in die ursprüngliche Gleichung
  • Order Matters: First handle addition/subtraction, then multiplication/divisionReihenfolge ist wichtig: Behandeln Sie zuerst Addition/Subtraktion, dann Multiplikation/Division
  • Combine Like Terms: Terms with the same variable can be added or subtractedZusammenfassen von ähnlichen Begriffen: Begriffe mit der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden

Easy ExercisesEinfache Übungen

Solve for x in each equation:Lösen Sie nach x auf:

Medium ExercisesMittelschwere Übungen

Solve for x in each equation:Lösen Sie nach x auf:

Hard ExercisesSchwierige Übungen

Solve for x in each equation:Lösen Sie nach x auf:

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